正交投影和透视投影矩阵推导

简介

投影是把不同z值（不包括z值大于摄像机z值的部分）的物体投射到z=n（也就是near）的平面上。
投影的关键是找到投影后的点$(x^{'}, y^{'}, z^{'})$和投影前的点$(x, y, z)$的关系。

这张图片展示了透视投影（左）和正交投影（右）的不同。

正交投影

只需将长$r-l$宽$n-f$高$t-b$的立方体映射成标准正方体：

1. 用$M_{t}$将中心平移至原点
2. 用$M_{s}$缩放至[-1,1]

$$M_{t} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ $$M_{s} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

=>

$$M_{ortho} = M_{s}M_{t} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

透视投影

1. 用$M_{p->o}$将视锥挤压成立方体
2. 用$M_{ortho}$做正交投影

那么关键在于确定$M_{p->o}$。

首先，从侧面根据相似三角形可以得出$y^{'} =\frac{n}{z}y$和$x^{'} = \frac{n}{z}x$

即：

$$M_{p->o} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} nx/z\\ ny/z\\ unknown\\ 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx\\ ny\\ unknown\\ z\\ \end{pmatrix}$$

根据上式可以确定$M_{p->o}$的部分值：

$$M_{p->o} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$

接下来便是确定剩下的值。这些值可以通过下面的已知条件来计算。

• 任意在z=n平面上的点在投影前后保持一致
  即：

  $$\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ n\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x\\ y\\ n\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} nx\\ ny\\ n^{2}\\ n\\ \end{pmatrix}$$

  那么可以得出$M_{p->o}$第三行的前两个值。

  $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & A & B\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ n\\ 1\\ \end{pmatrix}=n^2 => An+B = n^{2} ........ （1）$$

• 任意在z=f平面上的点的z值在投影前后保持一致
  这里用中心(0,0,f,1)来算，因为中心在变换前后都会是中心。
  即：

  $$\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ f^{2}\\ f\\ \end{pmatrix}$$

  那么：

  $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & A & B\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1\\ \end{pmatrix}=n^2 => Af+B = f^{2} ........ （2）$$

联立（1）（2）式可解出：

$$A = n + f \\ B = -nf$$

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所以：

$$M_{p->o} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$M_{persp}=M_{ortho}M_{p->o}= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix}$$

图片来源：GAMES-Webinar